হাইড্রোজেন পরমাণুর ব্যাসার্ধ ও এর ইলেক্ট্রনের শক্তির সমীকরণ

 

হাইড্রোজেন পরমাণুর ব্যাসার্ধ ও এর ইলেক্ট্রনের শক্তির সমীকরণ

হাইড্রোজেন পরমাণুর ব্যাসার্ধ নির্ণয়ের সমীকরণঃ

মনে করি, হাইড্রোজেন পরামণুর ব্যাসার্ধ r এবং এর নিউক্লিয়াসে z সংখ্যক প্রোটন আছে। যেহেতু ইলেক্ট্রন এবং প্রোটনের চার্জ সমান, তাহলে ধরা যায়,

Z সংখ্যক প্রোটনের চার্জ = Ze ( অর্থাৎ Z পারমাণবিক সংখ্যা)

এবং, ইলেক্ট্রনের চার্জ = e

এই ধনাত্মক নিউক্লিয়াস এবং ঋনাত্মক ইলেক্ট্রনের মধ্যে স্থির তড়িৎ আকর্ষণ বল ক্রিয়া করে। মনে করি এই আকর্ষণ বলের মান F1, তাহলে আমরা লিখতে পারি,

$F_1=\frac{Ze\times e}{r^2}$

$\Rightarrow F_1=\frac{Z{e}^2}{r^2}$ ----------------- (1)

আবার, ইলেক্ট্রন টি পরমাণুর কক্ষপথে একটি নির্দিষ্ট বেগে আবর্তনশীল। এই আবর্তনের কারনের একটি কেন্দ্র বিমুখী বলের উৎপত্তি হয়। ইলেক্ট্রনের এই আবর্তন বেগের মান v  এবং ইলেক্ট্রনের ভর m হলে আমরা লিখতে পারি,

$F_2=\frac{m{v}^2}{r}$ ---------------(2) `

বোর পরমাণু মডেল হতে আমরা জানি, ইলেক্ট্রন ও নিউক্লিয়াসের মধ্যে ক্রিয়াশীল স্থির তড়িৎ আকর্ষণ বল এবং ইলেক্ট্রনের আবর্তন জনিত কেন্দ্র বহির্মুখী বল পরস্পর সাম্যাবস্থায় থাকে। অর্থাৎ,

$F_1=F_2$

$\Rightarrow \frac{Z{e}^2}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}$

$\Rightarrow m{v}^2=\frac{Z{e}^2}{r}$ --------------- (3)

আমরা জানি, n তম কক্ষপথে অবস্থিত ইলেক্ট্রনের কৌণিক ভরবেগ,

$mvr=\frac{nh}{2\pi }$ ( এখানে h প্লাঙ্কের ধ্রুবক)

$v=\frac{nh}{2\pi mr}$

v এর মান (3) এ বসিয়ে পাই,

$m{\left(\frac{nh}{2\pi mr}\right)}^2=\frac{Z{e}^2}{r}$

$\Rightarrow m\frac{n^2{h}^2}{4{\pi }^2{m}^2{r}^2}=\frac{Z{e}^2}{r}$

$\Rightarrow r=\frac{n^2{h}^2}{4{\pi }^{2}mZ{e}^2}$

ইহাই যেকোন পরমাণুর ব্যাসার্ধ নির্ণয়ের সমীকরণ।

যেহেতু, হাইড্রোজের পারমাণবিক সংখ্যা 1, সুতরাং Z= 1 বসিয়ে পাই,

$r=\frac{n^2{h}^2}{4{\pi }^{2}m{e}^2}$

যা, হাইড্রোজেন পরমাণুর ব্যসার্ধ নির্ণয়ের সমীকরণ।

 

Atom
Image source-Google | Image by- www.thoughtco.com

হাইড্রোজেন পরমাণুর শক্তিস্তরে ইলেক্ত্রনের শক্তি নির্ণয়ের সমীকরনঃ

হাইড্রোজেন পরমাণুর কক্ষপথে আবর্তনশীল ইলেক্ট্রনে দুই ধরনের শক্তি থাকে, বিভব শক্তি ও গতি শক্তি। এই দুটি শক্তি যোগ করলেই আমরা আবর্তনশীল ইলেক্ট্রনের মোট শক্তি পাবো।

m ভর বিশিষ্ট ইলেক্ট্রন v  বেগে আবর্তনশীল থাকলে এর গতি শক্তি,

$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$ --------------(1) (3 নং সমীকরণ হতে )

আবার, কক্ষপথের ব্যাসার্ধ r হলে বিভব শক্তি,

$E_p=-\frac{Z{e}^2}{r}$  -------------- (2)

সুতরাং মোট শক্তি,

$E=E_k+E_p$

$\Rightarrow E=\frac{1}{2}Z{e}^2+(-\frac{Z{e}^2}{r})$

$\Rightarrow E=-\frac{Z{e}^2}{2r}$ ---------------- (3)

আবার, হাইড্রোজেন পরমাণুর ব্যাসার্ধের সমীকরণ হতে পাই,

$r=\frac{n^2{h}^2}{4{\pi }^{2}mZ{e}^2}$

r এর মান (3)  নং এ বসিয়ে পাই,

$E=-\frac{Z{e}^2}{2}\times \frac{1}{\frac{n^2{h}^2}{4{\pi }^{2}mZ{e}^2}}$

$\Rightarrow E=\frac{-2{\pi }^{2}Zm{e}^4}{n^2{h}^2}$

যেহেতু H পরমাণুর জন্য Z = 1 সুতরাং আমরা লিখতে পারি,

$E=\frac{-2{\pi }^{2}m{e}^4}{n^2{h}^2}$

এটাই হাইড্রোজেন পরমাণুর কক্ষপথে ইলেক্ট্রনের শক্ত নির্ণয়ের সমীকরণ।

এই সমীকরণ ব্যবহার করে তৃতীয় কক্ষপথে অবস্থিত ইলেক্ট্রনের শক্তি নির্ণয় করা যাক।

এক্ষেত্রে,

ইলেক্ট্রনের ভর $m=9.1\times {10}^{-28}g$

ইলেক্ট্রনের চার্জ $e=4.8\times {10}^{-10}esu$

প্লাঙ্কের ধ্রুবক $h=6.626\times {10}^{-27}erg.\sec$

৩য় কক্ষপথের জন্য $n=3$

$\pi =3.1416$

এখন, ৩য় কক্ষপথে অবস্থিত ইলেক্ট্রনের শক্তি = $\frac{2\times {\left(3.1416\right)}^2\times 9.1\times {10}^{-28}\times {(4.8\times {10}^{-10})}^4}{3^2\times {(6.626\times {10}^{-27})}^2}$

$=2.41\times {10}^{-12}erg.\sec$